Может ли арендодатель спрашивать об источниках доходов своих арендаторов?

Нет. Это попросту выходит за рамки арендного договора. Есть подозрения - пусть интересуется в установленном Законом порядке через соответствующие органы. Есть такая классика: "...Ты, мил человек, стукачок... " И ещё: " Дядя Вова- дурак!? "

Спрашивать он может все что пожелает, свободу слова никто не отменял, другое дело стоит ли Вам отвечать. . это все зависит от того как Вам нужна арендуемая жилплощадь.. .
Послать можно кого угодно.. . Только любой человек, если конечно он не аферист интересуется, скорее не Вашими доходами, а тем, насколько Вы платежеспособны.. .
Снимая квартиру, Вы должны посмотреть ОРИГИНАЛЫ свидетельства на квартиру и паспорт.. . Все проверить.. .
И, конечно, для Вас, как для Арендатора, было бы идеально заключить договор Аренды, где прописать все о чем Вы договорились. . как известно, что написано пером, не вырубишь топором))

попросите предъявить документы на квартиру)) ) а то мож он сам ее снял месяц назад на месяц)))

Обязательно смотрите ОРИГИНАЛЫ свидетельства на квартиру и паспорт. Фамилии и личико арендодателя в документах должны ОБЯЗАТЕЛЬНО совпадать

Может. но не обязательно отвечать.
Документы на квартиру и будет ли он вам регистрацию делать, если нет значит он не будет отчитываться за дополнительный доход за сдачу квартиры а это повод настучать в него в налоговую

Если касается жилого помещения то наймодателю не запрещено, он даже может потребовать справку о даходах, если же коммерческой недвижимости то НЕТ

спрашивать может. но в ответ его следует послать в пешее эротическое путешествие. ибо это не его собачье дело - он не банк, дающий кредит

Да, чаще всего интересуются не столько источниками дохода, сколько профессией и местом работы, чтобы понять, насколько человек платежеспособен и вообще, что от него ожидать. Лучше вежливо ответить. Это ведь не сложно. Он ведь не спрашивает о величине зарплаты и каких-то левых доходах.
Кроме перечисленного уже выше документов, ОБЯЗАТЕЛЬНО требуйте все оплаченные квитанции за квартплату, коммунальные платежи, свет, газ, консьержа, если он есть, ТВ антенну. Сверяйте все показания счетчиков. Если это управляющая компания (есть сейчас и такие) , то у них будут нотариально заверенные копии документов и доверенность. Смотрите внимательно на все подписи и даты. Важно, чтобы доверенность не была просрочена. Поинтересуйтесь у управляющего, где сейчас живет владелец и не возникнет ли у него желание в ближайшее время вернуться домой.