Можно ли поступить на гос. службу, если постоянная регистрация в другом регионе?

Можно, это не является препятствием. Однако работодатель (в твоем случае орган власти) вправе потребовать у тебя временную регистрацию и помни обязанности брать на работу у них нет. Это их право, поэтому отказ в приеме воспринимай как должное.