почему возникает кашель после приёма горячей ванны?

Возможно на хлорку в воде. Попробуйте набрать воду в ванну и пусть она постоит так минут 30, чтобы хлорка испарилась. Естественно, при этом нужно будет налить в ванну чуть более горячую воду, т.к. за время ожидания вода остынет. Дверь в ванную лучше не закрывать при этом.
Возможно и на пены, шампуни всякие. Попробуйте сменить на другие.

после ванны вышел в прохладу и заболел