нужно ли в входящей (на нашем экземпляре) товарной накладной или упд ставить нашу печать и подпись?

Да, должна быть подпись о приеме товара. А то при проверке налоговая скажет, что ваша фирма товар не получила.

Два экземпляра должны быть одинаковы.

Федеральный закон "О бухгалтерском учете" ст. 9 п. 2

Обязательными реквизитами первичного учетного документа являются:

наименование документа; дата составления документа; наименование экономического субъекта, составившего документ; содержание факта хозяйственной жизни; величина натурального и (или) денежного измерения факта хозяйственной жизни с указанием единиц измерения; наименование должности лица (лиц) , совершившего (совершивших)
сделку, операцию и ответственного (ответственных) за её оформление, либо
наименование должности лица (лиц) , ответственного (ответственных) за
оформление свершившегося события; подписи лиц, предусмотренных ст. 2 п. 6 ФЗ "О бухгалтерском
учете", с указанием их фамилий и инициалов, либо иных реквизитов,
необходимых для идентификации этих лиц.

Подписи ответственных лиц:

Отпуск груза разрешил — указывается должность, ФИО и ставится подпись ответственного лица. Главный (старший) бухгалтер — указывается ФИО и ставится подпись главного бухгалтера. Отпуск груза произвел — указывается должность, ФИО и ставится подпись ответственного лица.

Индивидуальный
предприниматель расписывается только один раз в графе Отпуск груза
разрешил. В крупных компания во всех трех местах могут расписываться
разные люди, в соответствии со своими должностными обязанностями. В
небольших компаниях во всех трех местах может расписаться одно и тоже
лицо, например, генеральный директор. Менеджер тоже может расписаться во
всех трёх полях, но только при действующем внутриорганизационном
приказе с правом отгружать товары, подписывать отгрузочные и
бухгалтерские документы.