"При чем здесь? " или "причем здесь? "

Разные смыслы. При чем здесь упоминание о лягушках в пруду, причем здесь даже речи не шло о лягушках.. . ;)

Написание ПРИТОМ, ПРИЧЁМ и ПРИ ТОМ, ПРИ ЧЁМ

Следует различать по смыслу союзы ПРИТОМ, ПРИЧЁМ и предлог ПРИ + местоимения ТОМ, ЧЁМ:

Пояснение

Примеры
Перед нами предлог+местоимение ПРИ ТОМ:
1) если к ПРИ (ТОМ) можно задать вопрос при каком?
2) если ПРИ (ТОМ) нельзя заменить синонимом ПРИЧЁМ

Перед нами предлог+местоимение ПРИ ЧЁМ:
1) если к ПРИ (ЧЁМ) можно задать вопрос с чем?
2) если ПРИ (ЧЁМ) не является синонимом ПРИТОМ.

Следует писать раздельно: ПРИ ТОМ, ПРИ ЧЁМ.
При том вузе есть музыкальная студия.
1. При каком? При том.
2. Нельзя заменить словом причём

При чём осталась старуха в «Сказке о рыбаке и рыбке» ?
1. С чем осталась?
2. Нельзя заменить словом притом
Перед нами союз:
1) если ПРИТОМ и ПРИЧЁМ являются друг для друга синонимами;

2) если ПРИ (ТОМ) или ПРИ (ЧЁМ) можно заменить синонимами ДА И или К ТОМУ ЖЕ.

Следует писать слитно: ПРИТОМ, ПРИЧЁМ.

Дождь усилился, притом (причём, да и, к тому же) стало холодно.

Он радовался, причём (притом, к тому же) бурно.
*************

В Вашем случае нужно писать раздельно)

раздельно
Следует различать союз «причем» (в значении «вдобавок, к тому же» ) и сочетание предлога с местоимением «при чем» . Союз пишется слитно, а сочетание с местоимением – раздельно:
При чем тут мороз? Мороз тут ни при чем.

слитно - ПРИЧЁМ (это наречие в данном случае) ;

раздельное написание употребляется очень редко, даже не могу сейчас привести пример

Пишется слитно.

При чём это произошло?
Это произошло при Иосифе Сталине (Во времена Иосифа) Это раздельно при чём.
В остальных случаях слитно