Работаю в школе-интернате воспитателем. При каких условиях могу поменяться сменами с напарницей при её согласии.

согласие начальника...

С уведомлением и согласием руководителя.

пишется заявление о подмене, подписывается руководителем. после чего пишется указание, кто и когда работает.

При согласовании с руководством и если табель еще не закрыт

Только при условии согласования с работодателем. Он же подписывает графики сменности!