Если страховка до 19 мая, то 19 ездить можно с ней или уже нет? Когда последний день её действия?

В полисе в верхнем правом углу указаны дата и время, когда истекает срок действия страховки. У Вас скорее всего - по 23ч. 59мин. 59сек. 19 мая. Т. е. 20-го, в понедельник, страховки уже не будет.
Но зачем тянуть до последнего, когда оформить новую страховку можно и до окончания нынешней. Новая начнет свое действие сразу по окончании нынешней. Так что совет - сегодня посетить страховую компанию.