Я работаю по совместительству,основной работы у меня нет. Могут ли мне внести запись в трудовую книжку?

Так это и есть основное место работы! Иначе что вы совмещаете, совмещать можно только еще одно рабочее место, а у вас оно единственное.

Если нет основной, какое это совместительство, скорее договор поручения

Запись в трудовую это не главное лишь бы страховые взносы в ПФР работодатель за тебя платил, не важно основное место работы или совместительство, можешь узнать в своем ПФР

пусть напишут приказ о переводе вас на основное место работы и внесут запись в трудовую

Слово "совместительство" здесь не уместно - Вы прсто работаете... Если Вы оформлены официально - запись Вам сделают.

Могут.

Да, и непросто могут, а должны сделать запись в трудовую.

Вообще говоря, согл. ст. 66. ТК (Трудовая книжка) сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы по желанию работника на основании документа, подтверждающего работу по совместительству.

Но согласно того же ТК : Совместительство - выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.

Так что в данном случае - у Вас не совместительство и запись в Трудовую должны сделать на этом месте работы.

Если у вас нет основного места работы, то так называемеое совместительство и есть основное место работы, поэтому вас обязаны принять в штат и пользоваться всем соц. пакетом, полагающемся по осн. месту работы, т. е. отпуск, мед. полис, компенсации при увольнении, налоговые вычеты и пр.