Математика 10класс Решение задач

X^4-4x^3+12x^2-24x+24 = x^2 ( x^2 -4x + 4) + 8x^2 - 24 x +24 = x^2 (x - 2)^2 + 8 (x^2 - 3x + 9/4 - 9/4) + 24 > 8 (x - 3/2)^2 - 8 * 9/4 + 24 > - 18 + 24 = 6. Таким образом выражение всегда больше шести не может быть меньше нуля.

Ответы и решения. 10 класс.
1. Докажите, что уравнение x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0 не имеет решений.

Решение. Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0 преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0, которое не имеет решений.

2. Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.

Решение. Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов. Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n, значит, в какой-то момент она будет равна m. Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой, равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов, которое еще предстоит забить первой команде. Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

3. В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

Решение. Заметим, что зачёркнута была последняя цифра, т. к. в противном случае после вычитания последняя цифра числа была бы нулевой. Пусть y– последняя цифра исходного числа, x– пятизначное число после зачёркивания. Тогда полученное число равно 10x+y–x = 9x+y=654321. Деля это число на 9 с остатком (и учитывая, что y не превосходит 9), получим остаток y=3 и частное x=727 02.

Ответ. 727 023.