Как доказать сумму прогресии?

Обычно как раз методом индукции такие вещи и доказываются. Он работает практически всегда. Вот как это происходит здесь:

Для n = 1 равенство, очевидно, верно (слева и справа будет по 1).
Пусть равенство верно при n = p. Это значит, что:

∑[k = 1; p](-1)^(k+1) * (2k - 1) = (-1)^(p+1)*p

Исследуем правую часть. Если p чётно, то справа будет -p, а если нечётно, то просто p.

Мы хотим доказать, что если в левую часть исходного равенства подставить n = p + 1, то справа будет (-1)^(p + 2)*(p + 1), т. е.
p + 1, если p чётно и
-(p + 1), если p нечётно.

При такой подстановке левая часть будет иметь вид:

∑[k = 1; p+1](-1)^(k+1) * (2k - 1) = (∑[k = 1; p](-1)^(k+1) * (2k - 1)) + (-1)^(p + 2) * (2p + 1)

Здесь мы сумму p + 1 слагаемых представили в виде той же суммы, но p слагаемых плюс выражение, полученное при подстановке p + 1 вместо k в выражение под знаком суммы.

Первая сумма (в правой части равенства) в силу индукционного допущения (первая формула в моём ответе) равна (-1)^(p+1)*p, значит, вся сумма равна (-1)^(p+1)*p + (-1)^(p + 2) * (2p + 1)

Исследуем это выражение в зависимости от того, чётно ли p или нечётно.
Если p чётно, то получится -p + (2p + 1) = p + 1
Если p нечётно, то получится p - (2p + 1) = -p - 1 = -(p + 1)

А это именно то, что мы хотели доказать.