Докажите, что найдется n0, такое, что xn≤6 для всех n≥n0.

Где учишься? От этого зависит, какими методами это решать.
Так то это не слишком сложная задача, нужно доказать, что последовательность сходится и имеет конечный предел, затем этот предел легко находится прямо из рекуррентного соотношения: переходя к пределу в обеих его частях, получим для предела
а= 6/∛а, a⁴=6³, a=⁴√216 <6, в любой сколь угодно малой окрестности предельной точки находятся все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, собственно это и всё.

Да, и я что хотел бы добавить к своему предыдущему ответу (см. выше). Вот я написал : надо доказать существование конечного предела. Может я, конечно, что то упускаю, но я не увидел другого доказательства существования, кроме нижеизложенного, а такое доказательство вполне позволяет обойтись вообще без использования понятия предела и оперировать чисто школьными методами, потому как я посмотрел твои вопросы и сдается мне, что надо действовать школьными))
Можно поступить так: представим {x(n)} в явном виде (собственно, так же можно и доказать существование предела и найти сам предел). Прологарифмируем рекуррентную формулу: ln (x(n+1))=ln 6 -(1/3)*ln(x(n)) и запишем цепочку равенств для последовательных n. Получим:
ln (x(1))=ln 6 -(1/3)*ln(x(0)) = ln 6
ln (x(2))=ln 6 -(1/3)*ln(x(1)) =ln 6 -(1/3)*ln 6
ln (x(3))=ln 6 -(1/3)*ln(x(2)) =ln 6 -(1/3)*(ln 6 -(1/3)*ln 6)=ln 6 -(1/3)ln 6 +(1/3²)*ln 6
....
ln (x(n+1))=ln 6 -(1/3)*ln6+ (1/3²)*ln6-(1/3³)*ln6+..+((-`1)^n)*(1/(3^n)*ln 6=
=ln6 *(∑(1/(3^2k)-∑(1/(3^(2k+1))) (группируются и суммируются слагаемые со степенями одинаковой чётности).
(∑(1/(3^2k)-∑(1/(3^(2k+1)))<S(1)-S(2,2k+1)), где S(1) – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии {1/(3^2k), k=0,1,2..}, S(1)=9/8,
S(2,2k+1) – сумма m первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии {1/(3^(2k-1)), k=1,2,3,..}, S(2,(2k+1))=(3/8)*(1-1/(9^m))
Потребуем, чтобы 9/8-(3/8)*(1-1/(9^m))<1, или 1/(3^(m-1))<2 это неравенство справедливо для всех натуральных m, поэтому во всяком случае при всех n>=2m+1>=3 (на самом деле уже при n>=2) x(n+1)<6, (а если <= 6 - вообще при всех n)