Решите уравнение в целых числах

Ясно, что y≥0 и x≠y. Пусть t=x^2-y^2, что означает, что t^2=16y+1. Альтернативно: y=(t^2-1)/16 - пусть будет (1). Теперь t - это разница между двумя различными квадратами, один из которых равен y^2. Минимальная разница между y^2 и другим квадратом составляет 2y-1 (по сравнению с предыдущим квадратом). Таким образом, мы имеем |t|≥2y-1 ⟹ y≤(|t|+1)/2 - пусть будет (2).

Объединение (1) и (2) дает нам (|t|^2-1)/16≤(|t|+1)/2 ⟹ |t|^2-8|t|-9≤0 ⟹ (|t|-9)(|t|+1)≤0. Что аккуратно дает нам |t|≤9.

У нас также есть t^2≡1 (mod 16), что означает t≡±1 (mod 8). Теперь у нас есть только шесть вариантов для t:

t=±1⟹y=0 и x=±1.
t=±7⟹y=3 и x=±4.
t=±9⟹y=5 и x=±4.

И это единственные решения.

Имеем x^2 = y^2 + sqrt(16y + 1).
Идея такая: при больших "у" второе слагаемое растет медленнее, чем сам "у", посему в сумме с y^2 будет меньше, чем (y+1)^2 и тем самым не может являться квадратом.
А именно:
y^2 + sqrt(16y + 1) < (y + 1)^2;
sqrt(16y + 1) < 2y + 1;
16y + 1 < 4y^2 + 4y + 1;
4y^2 - 12y > 0;
y(y-3) > 0.
Это выполняется при y > 3.
Ну а отрицательные "у" очевидно не подходят.
Поэтому достаточно перебрать у = 0,1,2,3.
При у = 0 имеем х = +-1;
при y = 3 имеем x = +-4.