Как комплексные числа ведут себя под модулем?

Модуль комплексного числа это чуток не то же самое, что и модуль вещественного. Геометрическая интуиция происходящего такова.

Модуль вещественного числа x ∈ ℝ — это длина отрезка числовой оси от числа x до точки 0.
Длина — штука неотрицательная по ее определению (в определение длины лучше не лезть и воспринимать это понятие на чувственном уровне). Именно поэтому | 3 | = 3, так как длина отрезка от точки 3 до точки 0 на числовой оси равна 3. Аналогично | -3 |= 3, так как расстояние что влево, что вправо — неотрицательное число. Это про первое фото.

Комплексные числа графически изображаются на комплексной плоскости, а не на прямой. Поэтому число z ∈ ℂ представляется в виде z = x + iy и изображается в координатах (x, y). А тогда аналогом модуля будет уже длина отрезка, соединяющего точку z с координатами (x, y) с точкой 0 с координатами (0, 0). Иными словами, модулем комплексного числа называется (формула расстояния между точками, она же — теорема Пифагора, если угодно):

| z | = | x +iy | = √(x² + y²)

Например
| 1 + i | = √(1 + 1) = √2
| 4 - 3i | = √(16 + 9) = √25 = 5

Базовые свойства модуля комплексного числа:
1. | z | очевидно всегда вещественное число
2. | z | всегда неотрицателен и равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0 = 0 + i0
3. Модуль мультипликативен: | z1 * z2 | = | z1 | * | z2 | и субаддитивен: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |

Это было про второе фото. Наконец, правильный ответ на ваш вопрос такой: модуль комплексного числа не бывает отрицательным это раз, «доставать» комплексные числа из-под модуля вообще не очень понятно, что значит, но, кажется, здесь можно отослать к формуле нахождения модуля это два

нервничают....