Домашние задания: Алгебра

Алгебра и начала мат анализа. 10 класс

a) Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 19 и 11 равны соответственно 16 и 8.
б) Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 17 и 13 равны соответственно 15 и 11.
Edalet Huseynov
Edalet Huseynov
153
Китайская теорема об остатках относится, вроде как, к арифметике, а не к алгебре или анализу. Ну да черт с ней.

а) НОД(19, 11) = 1 => по китайской теореме об остатках среди чисел от 1 до 19*11 существует всего одно натуральное с заданными остатками. Найди его перебором, это не так долго. Другие методы решения слишком уж мудреные и не сказать, чтоб проще.
б) Аналогично.
&Г
>Юрий Ганин
34 449
Лучший ответ
>Юрий Ганин Ну, вообще, если смухлевать, то можно просто заметить, что для всяких натуральных x, m, n числа x и (mn - x) дают "противоположные" (т.е. дающие сумма которых равна m) остатки от деления на m, аналогично дело обстоит с остатками от деления на n.

В случае a) у нас 3 = 19 - 16 = 11 - 8 => ответ 19*11 - 3 = 206, по китайской т. об остатках это мин. натуральное число с заданными остатками.
В случае б) у нас 2 = 17-15 = 13 - 11 => ответ 17*13 - 2 = 219, , по китайской т. об остатках это мин. натуральное число с заданными остатками.

Но лучше не мухлевать, а набить руку на переборе. Тут нам просто повезло с 19-16 = 11 - 8 и с 17-15 = 13 - 11, могло и не повезти.
>Юрий Ганин PS. Нулевой остаток считаем противположным самому себе.
Т.е. два остатка от деления на m считаем "противоположными", если их сумма 0 или m, т.е. кратна m.
Valeriya *** у КТО есть красивый поиск ответа и без перебора )
Юля Пушок

Найдите §1 D05 ГДЗ Алгебра 9 класс Шестаков С.А.

а) Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 19 и 11 равны соответственно 16 и 8.

б) Найдите наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 17 и 13 равны соответственно 15 и 11.


1 ноября 2017

1 ответ

ОТВЕТЫ 1

Сергей Андрющенко

а) Пусть n - искомое число, с одной стороны n = 19k+16, а с другой n = 11l+8, имеем 19k+16 = 11l+8 → 19k -11l+8 = 0

→ 8(k+1 )+11 (k—1) = 0 → k-l=-8m, k+l=11m. k=11m-1 ,l = 18m.

Т.к. требуется наименьшее такое n, то m = 1 (при m = 0, k<0). k = 10. Тогда n = 19∙10+16 = 206.

Ответ: 206.

б) Пусть n - искомое число, по условию

n = 17k+15 и n = 13l+11, имеем 17k+15 = 13l+11→4(k+l)+13(k+l) = 0 →

k-l = -4m, k+1 = 13m; k = 13m-l. Т.к. требуется наименьшее такое n, то m = 1 (при m = 0, k<0). k = 12.

Тогда n = 17∙12+15 = 219.

Ответ: 219.


2 ноября 2017
Ильхам Маметсатов
Ильхам Маметсатов
76 330
Пусть эти числа будут равны X
X = 19a+1
X = 11b + 8

19a+16=11b+8
11b-19a=8

Дальше вот так:
8+19а. = 11+11а=3+8а = 2а+1 =3а+3
=======. ============. ===
11. 11. 11

Отсюда очевидно, что а равняется 3
Тогда b равняется 18.
То есть это число равно:
х=(19 х 10)+16
Ответом будет 206
Никита Золотарев
Никита Золотарев
18 668
Edalet Huseynov Было 11b-19a=0, откуда взялось 11 и 11a, если мы раскладываем таким образом, должно получиться 8+19a=11b
Edalet Huseynov Если пытаемся разложить на множители вынести что-то получится 19a-11b+8=0 => 8a+11a-11b+8=0 => 8(a+1)+11(a-b)=0
Edalet Huseynov Откуда возникло число '11',если его можно получить только при приведении выражения к '8(a+1)+11(a-b)=0'
Китайская теорема об остатках делает бр-бр-бр(НОД(19,11) = 1):
а)
1) составляем систему: {x ≡ 16 (mod 19); x ≡ 8 (mod 11)}
2) произведение всех модулей: M = 19 * 11 = 209
3) промежуточные значения для коэффициентов при элементе в формуле подсчета ответа: m1' = M / m1 = 209 / 19 = 11; m2' = 19 (аналогично)
4) обратные по модулю в кольце для посчитанных в предыдущем пункте значений: (m1')^(-1) = 7; (m2')^(-1) = 7
5) вычисление ответа: x = (11 * 7 * 16 + 19 * 7 * 8) % 209 = 206

Ответ: 206

б)
аналогично а)
Некто Ватный
Некто Ватный
12 614

Похожие вопросы