Найти точки экстремума

Плохо видно какая там степень у икса, но предположим, что три.
у = ⅓•х³ - х - это полиномиальная функция, дифференцируемая любое количество раз и гладкая вместе со всеми своими производными.
dy/dx = (⅓•x³ - x)' = x² - 1
d²y/dx² = (x² - 1)' = 2x
Точки гладкой функции, подозрительные на экстремум, - это её критические точки, в которых производная равна нулю. У негладкой функции у=|х| единственный минимум находится в точке х=0, в которой у ней вообще нет производной (двусторонней, естественно, односторонние производные в этой точке, конечно же, существуют, хотя и не равны). А у гладкой функции у=х³ в точке х=0 производная существует и равна нулю, но это точка не экстремальная!
y' = x² - 1 = 0 - здесь критические (они же стационарные) точки это х=-1 и х=1.
При х∈(-∞;-1)∪(1;+∞) производная положительна, следовательно функция возрастает, при х∈(-1;1) производная отрицательна, следовательно функция убывает. В точке х=-1 происходит смена возрастания на убывание, следовательно (-1;⅔) - это точка максимума. В точке х=1 происходит смена убывания на возрастание, следовательно (1;-⅔) - точка минимума. Других экстремумов нет.
При х>0 вторая производная положительна, следовательно функция выпуклая (по другой терминологии - выпуклая вниз). При х<0 вторая производная отрицательна, следовательно функция вогнутая (по другой терминологии - выпуклая вверх, то есть вогнутая функция оказывается вдруг ни с того ни с сего одновременно как бы и выпуклой, что поначалу может сбивать с толку, хотя если разобраться что к чему - ошибок в дальнейшем не будет; и всё равно термин "выпуклая вверх" вместо "вогнутая" мне что-то не особо нравится...). В точке х=0 происходит смена вогнутости на выпуклость, следовательно (0;0) - это точка перегиба с вогнутости на выпуклость. Других точек перегиба нет.