По векторам найти угол, площадь и высоту

Чтобы найти угол A, нужно найти скалярное произведение векторов AC и BD. Скалярное произведение векторов AB и CD равно:

(-2i - 6j + 3k) • (-6i - 2j + k) = (-2 * -6) + (-6 * -2) + (3 * 1) = 12 + 12 + 3 = 27.

Теперь мы можем вычислить угол между векторами AC и BD:

cos(A) = 27 / (|AC| * |BD|) = 27 / (sqrt(12 + 36 + 9) * sqrt(36 + 4 + 1)) = 27 / (sqrt(57) * sqrt(41)) = 27 / sqrt(2337) ≈ 0.737

A = arccos(0.737) ≈ 48.9 градусов.

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нужно умножить длину одной из сторон на высоту. Длина стороны параллелограмма равна модулю вектора AC:

S = |AC| * h = sqrt(12 + 36 + 9) * h = sqrt(57) * h

Чтобы найти высоту параллелограмма, нужно вычислить проекцию вектора AC на нормальный вектор BD. Нормальный вектор BD получается как векторное произведение AC x BD:

BD x AC = (-6i - 2j + k) x (-2i - 6j + 3k) = (12i + 18j - 9k)

Теперь нужно найти проекцию вектора AC на нормальный вектoр BD. Для этого нужно умножить вектор AC на нормальный вектор BD и разделить результат на длину нормального вектора BD:

h = ((-2i - 6j + 3k) • (12i + 18j - 9k)) / |(12i + 18j - 9k)| = (-2 * 12 + -6 * 18 + 3 * -9) / sqrt(144 + 324 + 81) = (-24 - 108 + -27) / sqrt(549) ≈ -0.181

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна:

S = sqrt(57) * (-0.181) ≈ -3.287

А его высота равна:

h = -0.181

Обратите внимание, что мы получили отрицательную высоту, поэтому вектор AC должен быть противоположно направлен вектору BD. Это может быть означено тем, что вектор AC показывает в противоположном направлении, например, если мы построили параллелограмм ABCD с векторами AC и BD как сторонами, вектор AC будет указывать внутрь параллелограмма, а не наружу.