Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:

Сначала чертишь график функций, чтобы наглядно представлять, что за площадь надо вычислить.
Теперь, начертив график (см. прилагаемый рисунок), ты видишь что фигура, ограниченная линиями (я закрасил фигуру оранжевым цветом), указанными в задаче, состоит из попарно одинаковых площадей S1=S4; S2=S3.

Поэтому для нахождения общей площади фигуры достаточно найти две разные площади, например S1 и S2 и затем сложить их и умножить на два.

Для вычисления площадей возьмем интегралы соответствующих функций:
S1 - это площадь, ограниченная сверху функцией y1 = 0, а снизу функцией y2 = -x^2 + 1, причем слева она ограничена вертикальной прямой x1=-2, а справа точкой пересечения функций в x2=-1.
Поэтому для поиска этой площади мы вычислим определенный интеграл от разности верхней функции y1 и нижней y2, на отрезке от x1 до x2:
(значок интеграла я буду показывать так: / )
S1 = / (y1 - y2)dx = / (0 - (-x^2 + 1))dx = / (x^2 - 1)dx = / x^2 dx - / 1 dx = (1/3)x^3 - x =>
=> определенный интеграл считаем по отрезку от -2 до -1, подставляем эти значения в полученную первообразную и вычисляем разность на отрезке =>
=> ((1/3)*(-1)^3 - (-1)) - ((1/3)*(-2)^3 - (-2)) = (-1/3 + 1) - (-8/3 + 2) = 2/3 - (-2/3) = 4/3

Итак, площадь S1 = 4/3, и S4 = S1 = 4/3

Вычислим площадь фигуры S2: эта часть фигуры ограничена сверху функцией y1 = -x^2 +1 и снизу функцией y2 = 0. Вообще по функции, которая идет выше оси Х достаточно просто взять интеграл по "верхней" функции y1, если нам нужна площадь именно по данной функции относительно оси Х. Так что берем интеграл относительно точек, ограничивающих нашу площадь слева и справа: x=-1 и x=0.
S2 = / y1 dx = / (-x^2 +1)dx = - / x^2 dx + / 1dx = -(1/3)x^3 + x => подставляем x=-1 и x=0 => (-(1/3)*0^3 + 0) - (-(1/3)*(-1)^3 + (-1)) = 0 - (1/3 -1) = 0 - (-2/3) = 2/3

Итак, площадь S2=2/3, а следовательно S3=S2=2/3

Общая площадь оранжевой фигуры, как указано в задании, ограниченной функциями y=-x^2+1 и y=0 от x=-2 до x=2 равна:
S = S1+S2+S3+S4 = S1*2 + S2*2 = (4/3)*2 + (2/3)*2 = 8/3 + 4/3 = 12/3 = 4

Ответ: S=4.