Решение триганометрических уравнений. 10 класс.

тригОООООООООнометрических

2cos²(x/2) + cos(x) = 0.

2c²(x\2)+cos(2*x|2)=2c²(x\2)+c²(x\2)-s²(x\2)=3c²(x|2)-s²(x/2)=0

3c²=s²
/s²

3tg²=1

tg²=1/3

tg(x|2)=±1/√3

tg(x|2)=1/√3
x|2=P/6+PK
X=P\3+2PK

tg(x|2)=-1/√3

x|2=-P/6+PK

X=-P\3+2PK

Ответ

Решим уравнение 2cos²(x/2) + cos(x) = 0.

Заметим, что левая часть равна:

2cos²(x/2) + cos(x) = 2(1-sin²(x/2)) + cos(x) = 2 - 2sin²(x/2) + cos(x)

Затем заметим, что угол x/2 является половиной угла x, так что мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

2 - 2sin²(x/2) + cos(x) = 2 - 2(1-cos²(x/2)) + cos(x) = 2cos²(x/2) + cos(x) - 2

Таким образом, исходное уравнение может быть переписано в виде:

2cos²(x/2) + cos(x) - 2 = 0

Теперь мы можем использовать подстановку y = cos(x/2)², чтобы получить квадратное уравнение:

2y + 2√(1-y) - 2 = 0

y + √(1-y) - 1 = 0

Решая это квадратное уравнение относительно y, мы получаем:

y = cos²(x/2) = (1 - √5) / 2

Так как cos²(x/2) не может быть отрицательным, мы можем использовать только положительное значение корня:

cos(x/2) = √[(1 - √5) / 2]

Чтобы решить уравнение для x, нам нужно рассмотреть все возможные значения arccos(√[(1 - √5) / 2]):

x/2 = ±arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 2πk

где k - любое целое число.

Теперь мы можем решить для x:

x = ±2arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 4πk

Таким образом, решениями исходного уравнения являются:

x = 2arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 4πk или x = -2arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 4πk,

где k - любое целое число.