Триганометрическое уравнение 6sin^2x+cosx+6=0

6sin^2x≥0
-1≤cox≤1
6sin^2x+cosx+6≥5
Уравнение не имеет решения

триган это тот из ходячих мертвецов который

sin2x=1-cos^2x

6·(1-cos^2x)+cosx+6=0

6-6cos^2x+cosx+6=0
-6cos^2x+cosx+12=0

Квадратное уравнение.
Замена переменной
cosx=t

-6t2+t+12=0
D=1–(4·(-6)·12))=289
D>0, следовательно
t1=(–1+17)/-12=-4/3 или t=(–1-17)/-12=16/12=3/2

cosx=–4/3 – уравнение не имеет корней, так как –1 ≤ cosx ≤1
cosx=3/2 – уравнение не имеет корней, так как –1 ≤ cosx ≤1
О т в е т. корней нет.

Для решения тригонометрического уравнения 6sin^2x+cosx+6=0 можно использовать замену переменной t = sin(x), тогда уравнение примет вид:

6t^2 + cos(x) + 6 = 0

cos(x) = -6t^2 - 6

Так как cos(x) находится в диапазоне от -1 до 1, то -6t^2 - 6 также должно находиться в этом диапазоне. Решим это уравнение:

-1 ≤ -6t^2 - 6 ≤ 1

-5 ≤ -6t^2 ≤ 1

-5/6 ≤ t^2 ≤ -1/6

Поскольку t^2 является квадратом синуса, то мы можем рассмотреть два случая:

t^2 = sin^2(x) = -5/6. В этом случае уравнение не имеет решений, так как синус не может быть отрицательным.

t^2 = sin^2(x) = -1/6. В этом случае существуют решения. Найдем sin(x):
sin(x) = ±√(-1/6)

sin(x) = ±(i/√6)

Так как sin(x) является мнимым числом, то решениями уравнения будут комплексные числа, которые можно найти из уравнения cos(x) = -6t^2 - 6:

cos(x) = -6(-1/6) - 6 = -5

Таким образом, решениями уравнения 6sin^2x+cosx+6=0 являются значения x, для которых sin(x) = ±(i/√6) и cos(x) = -5. В этих случаях:

x = π/2 + 2πn + i ln(√6/i)
или
x = 3π/2 + 2πn - i ln(√6/i),

где n - целое число, ln - натуральный логарифм

6(1 - cos ^ 2x) - cosx + 6 = 0

6 - 6cos ^ 2x - cosx + 6 = 0

6cos ^ 2x + cosx - 12 = 0

cosx = t - 1< ; = t< ; = 1

6t ^ 2 + t - 12 = 0

D = 1 + 4 * 6 * 12 = 289 = 17 ^ 2

t1 = ( - 1 + 17) / 2 * 6 = 16 / 12 = 4 / 3> ; 1

t2 = ( - 1 - 17) / 2 * 6 = - 18 / 12 = - 1, 5< ; - 1

Ответ : корней нет.