Помогите с задачами по алгебре!

1) Для определения является ли число членом последовательности (a,) нужно решить уравнение an = x, где an - n-й член последовательности, x - заданное число.
Решаем уравнение a_n = 157:
9n + 4 = 157
9n = 153
n = 17
Число 157 является 17-м членом последовательности.

Решаем уравнение a_n = 271:
9n + 4 = 271
9n = 267
n = 29,666...
Число 271 не является членом данной последовательности.

2) Обозначим первый член прогрессии через a1, а знаменатель - через q. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:
a1 = 4
a4 = 4*q^3 = -108

Отсюда найдем q:
q = -3

Теперь можно найти любой член прогрессии по формуле an = a1*q^(n-1). Например, 7-й член равен:

a7 = 4*(-3)^(7-1) = 972

Тогда сумма семи членов прогрессии будет равна:

S7 = a1*(q^7 - 1)/(q - 1) = 4*(-3^7 - 1)/(-3 - 1) = 436
3) Сумма всех натуральных чисел, кратных 9, больших 120 и меньших 210 может быть найдена по формуле суммы арифметической прогрессии:
S = (n/2) * (a1 + an),

где n - количество членов в последовательности, а1 - первый член, an - последний член.

Чтобы найти количество членов в последовательности, нужно разделить разность последнего и первого членов на 9 и прибавить 1 (так как и первый, и последний член входят в сумму):

(n-1)*9 + 9 = 210-120

n = 11

Теперь найдем первый и последний члены последовательности:

Первый член: первое кратное 9 после 120 - 126.
Последний член: последнее кратное 9 перед 210 - 207.

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 9, больших 120 и меньших 210, равна

S = (11/2) * (126 + 207) = 11 * 166.5 = 1831.5.

Ответ: 1831.5.

4) Пусть х — 3, х + 4 и 2х — 40 - члены геометрической прогрессии. Запишем условие равенства отношения любых двух последовательных членов:
(x + 4) / (x - 3) = (2x - 40) / (x + 4)

Решим это уравнение:

(x + 4)^2 = (x - 3)(2x - 40)

x^2 + 8x + 16 = 2x^2 - 86x + 120

x^2 - 94x + 104 = 0

Решая это квадратное уравнение, находим два значения: x1 = 2, x2 = 92.

Таким образом, когда х = 2 или х = 92, значения х — 3, х + 4 и 2х — 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Найдем эти члены:

При х = 2, последовательность будет -1, 2, 4.

При х = 92, последовательность будет 89, 92, 184.

Ответ: последовательность будет являться геометрической прогрессией со значениями -1, 2, 4 при х = 2 или со значениями 89, 92, 184 при х = 92.
5) Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда сумма всех членов прогрессии может быть выражена следующей формулой:
S = a / (1 - q)

Также мы знаем, что сумма первых трёх членов равна:

S3 = a (1 - q^3) / (1 - q)

Из условия задачи мы имеем два уравнения:

S = -6 = a / (1 - q)
S3 = -6\frac{2}{9} = a (1 - q^3) / (1 - q)

Решая эту систему уравнений, мы можем найти, что первый член равен -8, а знаменатель равен 1/3.

Ответ: первый член равен -8, знаменатель равен 1/3.