Диофантова уравнения, олимпиаданая задача

1) Очевидно, что при а=1 натуральных решений уравнение не имеет, также очевидно, что "с" должно делиться на "а", потому сразу положим с=m∙a и разделим все на "а" : abm+b+m=a², откуда b=(a²-m)/(a∙m+1)
2) Обратим внимание на функцию fₐ(x)=(a²-x)/(a∙x+1) Она обладает интересным свойством: fₐ(fₐ(x))=х (проверьте). Выше мы получили b=fₐ(m), поэтому fₐ(fₐ(m)=m=fₐ(b)
3) Т.о. для произвольного а∈N решение уравнения (если оно существует) выглядит следующим образом: (a,b,c)=(a, fₐ(m), m∙a) и задача состоит, по сути в том, чтобы при данном "а" подобрать такие "m", что fₐ(m)∈N
4) Если fₐ(m)∈N то, во всяком случае, должно быть (a²-m)≥(a∙m+1) ⇒ m≤ a-1
5) В общем случае m=a-k, {k=1,2,...(a-1)} и fₐ(m)=(a²-a+k)/(a²-a∙k+1)
6) Заметим далее, что при 1≤ k ≤ (a-1) всегда выполняется неравенство
fₐ(m)=(a²-a+k)/(a²-a∙k+1)≤k (оно очень легко приводится к виду (k-1)((a-1)-k)≥0), причем равенство имеет место только при k=(a-1) или k=1
7) Заметим также, что (fₐ(m)∙(a²-a∙k+1))≡fₐ(m)≡k(mod a), а поскольку fₐ(m)≤k<a, то fₐ(m)=k и как было установлено в п.6 ⇒ k={(a-1) ∨ 1} откуда:
8) m={(a-1) ∨ 1}
9) Усё, решили. Нашли две серии решений (см. п.3):
(a, fₐ(а-1), а∙(a-1)) и (a, fₐ(1), а), а=\=1 ну или, т.к. fₐ(1)=a-1, fₐ(a-1)=1 и заменяя "а" на какое нибудь "n+1":
(a,b,c)={((n+1), 1, n∙(n+1)) ∨ ((n+1), n, (n+1)) , n∈N}

abc+ab+c+1=a^3+1
(c+1)(ab+1) = (a+1)(a^2-a+1)
a=c
ab=a^2-a --> b=a-1
(n+1,n,n+1)