отца невписали в свидеетельство о рождении... Мать в тихоря, съездила и оформила ребёнка как безотцовщину. Что делать?

Думаю, что отвечая на Ваш вопрос, необходимо процитировать содержание статьи 17 Семейного кодекса РФ о порядке внесения сведений о родителях в запись акта о рождении ребенка

1. Отец и мать, состоящие в браке между собой, записываются родителями в записи акта о рождении ребенка по заявлению любого из них.
Сведения о матери ребенка вносятся в запись акта о рождении ребенка на основании документов, указанных в статье 14 настоящего Федерального закона, сведения об отце ребенка - на основании свидетельства о браке родителей.
2. В случае, если брак между родителями ребенка расторгнут, признан судом недействительным или если супруг умер, но со дня расторжения брака, признания его недействительным или со дня смерти супруга до дня рождения ребенка прошло не более трехсот дней, сведения о матери ребенка вносятся в запись акта о его рождении в порядке, установленном пунктом 1 настоящей статьи, сведения об отце ребенка - на основании свидетельства о браке родителей или иного документа, подтверждающего факт государственной регистрации заключения брака, а также документа, подтверждающего факт и время прекращения брака.
3. В случае, если родители ребенка не состоят в браке между собой, сведения о матери в запись акта о рождении ребенка вносятся в порядке, установленном пунктом 1 настоящей статьи.
Сведения об отце ребенка в данном случае вносятся:
на основании записи акта об установлении отцовства в случае, если отцовство устанавливается и регистрируется одновременно с государственной регистрацией рождения ребенка;
по заявлению матери ребенка в случае, если отцовство не установлено. Фамилия отца ребенка записывается по фамилии матери, имя и отчество отца ребенка - по ее указанию. Внесенные сведения не являются препятствием для решения вопроса об установлении отцовства. По желанию матери сведения об отце ребенка в запись акта о рождении ребенка могут не вноситься.

Если родители находятся в незарегистрированном браке, то отцу необходимо подать иск об установлении отцовства на основании ст. 49 СК РФ.

Ну если женщина родив ребенка, при этом не состояла в браке, то ребенок и оформляется как "безотцовщина". Что бы был вписан отец, нужно ему пойти с мамой ребенка в ЗАГС и написать заявление, что он отец ребенка. Тогда его впишут в свидетельство о рождении ребенка.
Если мама не хочет вписывать ребенка, а папа ребенка, не состоящий с ней браке желает быть отцом официально, он может подать иск в суд о признании его отцом ребенка и об изменении записи акта о рождении. Но при этом папе следует помнить, что потом он от ребенка не откажется и будет обязан этого ребенка содержать. Платить алименты.

усыновлять.

родители в браке?

Вы можете подать в суд о признание ребенка вашим.

А какова цель действий отца? Цель действий матери примерно ясна - она будет иметь определенные льготы как мать-одиночка (если нет более глубоких, личных, мотивов).

Если они не расписаны, то она имела полное на это право.

Видимо, отец это заслужил.. . Так ему и надо!

Чтобы у ребенка, рожденного вне брака в свидетельстве о рождении указали ваше ФИО, ребенка нужно официально признать.

родительских прав лишают не просто так. а прочерк в графе дает право на льготы от государства для ребёнка.