Контрольная по теме «цилиндр»

N1.
У прямоугольника диагонали равны, точкой пересечения они делятся пополам. Образующую найдём по теореме косинусов:
h²=(d/2)²+(d/2)²-2•(d/2)•(d/2)•cos(120°)=
=8²+8²-2•8•8•(-0,5)=192=8²•3=(8√3)²,
h=8√3 см.
Половины диагоналей образуют с диаметром основания равнобедренный треугольник с углом
180°-120°=60° напротив основания, значит, два других угла тоже по 60°, а треугольник равносторонний, поэтому:
D=d/2=8 см
Sбοκ=πhD=64π√3 см²

N2.
Диагонали образуют углы
60° и 180°-60°=120°, причём напротив большего угла лежит бóльшая сторона (напомню, что полудиагонали равны!). Угол 60° лежит напротив высоты, и она равна полудиагонали:
h=d/2=8 см, найдём длину окружности:
L²=(d/2)²+(d/2)²-2•(d/2)•(d/2)•cos(120°)=
=8²+8²-2•8•8•(-0,5)=192=8²•3=(8√3)²,
L=8√3 см, R=L/2π=8√3/2π см.
Sбοκ=Lh=8√3•8=64√3 см²,
Soc=πR²=π•(64•3/4π²)=48/π см²
S=Sбοκ+2Soc=64√3+96/π см²

1) ABCD - осевое сечение, где AC = 16
О - точка пересечения диагоналей AC и BD и угол < BOD = 120 град. =>
< OBD = < ODB = (180 - < BOD)\2 = (180 - 120)\2 = 30 град.
H = CD = AC * cos OBD = AC * cos ACD = 16 * cos 30 = 16 * V3\2 = 8V3 - высота цилиндра
D = AD = AC * sin ABD = 16 * sin 30 = 16 * 1\2 = 8 - диаметр основания
S бок = D * H = 8 * 8V3 = 64V3
2) ABCD - развертка цилиндра с диагоналями AC = BD = 16 и углом COD = 60
(O - точка пересечения AC и BD)
< OCD = < ODC = (180 - < COD)\2 = (180 - 60)\2 = 60 град.
Треугольник ABD:
< D = 90 град. и < ACD = 60 град. =>
H = CD = AC * cos ACD = 16 * cos 60 = 16 * 1\2 = 8 - высота цилиндра
C = AD = AC * sin ACD = 16 * sin 60 = 16 * V3\2 = 8V3 - длина окружности в основании цилиндра
С = 2pi * R = 8V3 ---> R = 8V3 \ 2pi = 4V3\pi - радиус основания
S осн = pi * R^2 = pi * (4V3\pi)^2 = 48\pi - площадь основания
S бок = C * H = AD * CD = 8V3 * 8 = 64V3 - площадь бок. поверхности
S полн = 2*S осн + S бок = 2*48\pi + 64V3 = 96\pi + 64V3