Дан квадрат ABCD со стороной 2 корня из 2. Точка О - точка пересечения диагоналей. OE - отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата ABCD и OE=4.
Найдите косинус угла между плоскостями BCE и DEC.
В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 14,4
Домашние задания: Геометрия
Задача «Особенности квадрата»
У этой задачки два решения. Но вначале посмотрим на картинку и разберемся с определениями. Итак, у нас получилась пирамида, основанная на квадрате со стороной l и высотой h. Зная стороны квадрата, легко найти его диагональ через теорему Пифагора. Половину диагонали я обозначила через m. Далее, вспомним определение угла между плоскостями: угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. В нашем случае это угол BZD (его я обозначила α). То есть отрезки BZ и DZ перпендикулярны ребру ЕС. Также для удобства я обозначила угол ОЕС через β.
Как я уже сказала, у задачи есть два решения. Первое чисто вычислительное и основывается на формуле вычисления косинуса двойного угла через квадраты синуса и косинуса половинного угла cos(2γ)=cos^2(γ) - sin^2(γ) - знак ^2 означает возведение в квадрат (надеюсь, объяснять, почему угол BZO равен углу DZO и равен 1/2α не надо). Для того, чтобы узнать значения синуса и косинуса DZO нужно узнать длину отрезков OZ и DZ. Напомню, значение OD = m нам фактически известно. OZ вычисляем через m и h (находим тангенс β, оттуда находим сам угол β, потом через sinβ и h выходим на OZ). DZ быстро находится по теореме Пифагора через стороны OD и OZ. А зная все три стороны прямоугольного треугольника ODZ находим синусы и косинусы угла OZD, то есть того самого α=2γ из вышеприведенной формулы.
Второй вариант решения основывается на вычислении косинуса угла через тангенс половинного угла. Тут уже простым текстом не обойдешься. Если интересно, я его напишу на бумаге от руки, сосканирую и выложу уже в комментарии.
Как я уже сказала, у задачи есть два решения. Первое чисто вычислительное и основывается на формуле вычисления косинуса двойного угла через квадраты синуса и косинуса половинного угла cos(2γ)=cos^2(γ) - sin^2(γ) - знак ^2 означает возведение в квадрат (надеюсь, объяснять, почему угол BZO равен углу DZO и равен 1/2α не надо). Для того, чтобы узнать значения синуса и косинуса DZO нужно узнать длину отрезков OZ и DZ. Напомню, значение OD = m нам фактически известно. OZ вычисляем через m и h (находим тангенс β, оттуда находим сам угол β, потом через sinβ и h выходим на OZ). DZ быстро находится по теореме Пифагора через стороны OD и OZ. А зная все три стороны прямоугольного треугольника ODZ находим синусы и косинусы угла OZD, то есть того самого α=2γ из вышеприведенной формулы.
Второй вариант решения основывается на вычислении косинуса угла через тангенс половинного угла. Тут уже простым текстом не обойдешься. Если интересно, я его напишу на бумаге от руки, сосканирую и выложу уже в комментарии.
У меня косинус угла вышел 1/9.
Оси Ox и Oz пуляем по дианоналям квдадрата Направления не прининципиальны, подстройтесь под выбранные ниже мной,
Плоскости BCE и DCE имеют уравнениы
x/2 + y/4 +/-z/2 -1 = 0, умножаем сразу все части уравнений на 4, т.к. делить - вредно. И косинус угла между плоскостями - это модуль косинуса угла межлу векторами (2, 1, 2) и (2, 1, -2), т.е. 1/(4 + 1 + 4) = 1/9. В ответе. указываем 1.6 = 14.4/9.
Плоскости BCE и DCE имеют уравнениы
x/2 + y/4 +/-z/2 -1 = 0, умножаем сразу все части уравнений на 4, т.к. делить - вредно. И косинус угла между плоскостями - это модуль косинуса угла межлу векторами (2, 1, 2) и (2, 1, -2), т.е. 1/(4 + 1 + 4) = 1/9. В ответе. указываем 1.6 = 14.4/9.
Наргуль Халилова
34 449
Картинки нету. С картинкой проще сообразить.
Makoto Pa
В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 14,4
=1,6
=1,6
Похожие вопросы
- Как разрезать квадраты (описание)
- Нужно сделать сечение квадрата. Объясните как делать.
- Геометрия 7 класс, решение задач по свойствам п/у треугольника, помогите решить, особенно на 3 задачу
- Во сколько раз площадь вписанного в квадрат круга меньше площади квадрата?
- Найдите площадь круга, вписанного в квадрат площади 72.(с рисунком пж, я без не понимаю)
- В прямом круговом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12
- Как доказать, что данная фигура квадрат
- Как найти квадрат расстояния от центра окружности до прямой?
- Можете решить задачи по геометрии за 8 класс? Просто эти задачи возможно у меня будут на контрольной, хочу подготовиться
- Решить задачи по математике
это половинка правильного октаэдра - считаем через двуойственный куб, наш угол - угол между диагоналями прямоугольника со сторонами 1:sqrt(2)
по тоереме косинусов получил косинуса искомого острого угла (3/2 - 1)/(3/2) = 1/3
В Вике, вроде, телесный угол у октаэдра тоже arccos(-1/3). При переходе к острому углу между плоскостями минус пропадет
Тогда проще через векторы посчитать, по поверю, что оам 1/9