Помогите решить Геометрию по братски

Объём:

 V = h × Sосн = h × π × r² 

Площади основания и боковой поверхности:

 Sосн = π × r² = V / h

Sбок = Lокр × h = 2 × π × r × h =

     = 2 × √(V × π × h)

(Lокр - длина окружности основания) 

Их сумму надо минимизировать при фиксированном объёме.

 f(h) = V / h + 2 × √(V × π × h) -> min 

Регулируемым параметром здесь является только высота.
Производная покажет нам возрастание и убывание функции расхода материала от высоты бака при фиксированном объёме:

 df(h)/dh = -V / h² + √(π × V / h) 

Найдём интервалы её положительности и отрицательности, предварительно упростив. На √h можно сократить, т.к. h > 0.

 -1 / h√h + √(V × π) ?= 0

-1 / h√h ?= -1 / √(V × π) 

(Знак неравенства сохраняется, т.к. делаем две операции по его перемене: 1/x и -x)

 h³ ?= V × π 

Итак, если куб высоты меньше, чем πV, то исходная функция убывает (производная отрицательна). Если равен πV, то достигнут минимум. Далее функция возрастает.
Значит, для минимизации расходов

 h = ∛(πV)

r² = πV / h = (πV)²/³

r = ∛(πV) = h 

 -√V / h√h + √π ?= 0 

-√V / h√h ?= -1 / √π

h√h ?= √(πV)

h³ ?= πV 

 πr² = V / h

r² = V / (πh) = V / (π∛(πV)) = V²/³ / π⁴/³

r = ∛(V/π²) ≈ 1.2587 дм = 12.587 см 

 -√V / h√h ?= -√π 

h√h ?= √(V/π) 

h³ ?= V/π

h(min) = ∛(V/π) ≈ 1.8435 дм

r²(min) = V / (πh) = V²/³ / π²/³

r = h ≈ 1.8435 дм 

Всё очень просто. А тебе таких слжностей понаписали... Аж жуть.

V = pi *R^2 * h ---- формула объема цилиндра

Чтобы расход материала был наименьшим, надо чтобы R=h

19,683 pi = pi * R^3

R = 2,7 ( 2,7^3= 19,683)

И радиус основания, и высота бака по 2,7

Смотри. Объем цилиндра это pi*r²*h. А площадь поверхности без крышки это pi * r² + 2*pi*r*h. То есть мы знаем, что r²h=a (a - некоторая константа больше 0, в условии это 19,683) и надо минимизировать величину r²+2rh. r²+2rh=r²+2 * a/r. Найдём Найдём минимум этой функции по r взяв производную: 2r-2 * a/r². Найдём её корни: r=a/r² r³=a r = корень кубический из a .Причём это точка минимума, т.к. до неё функция убывает в силу отрицательности производной, а потом возрастает в силу положительности. То есть r = корень кубический из a, и h = a / r², где a = 19.683. Дальше посчитай на калькуляторе

 r ≈ 2.143 дм

h ≈ 4.286 дм 

 61.837 л 

 14.428 + 57.710 = 72.138 дм² 

 69.921 (дм²)