Задачи с координатами.

Точки A(2; 0; 9) и B(-4; 1; -4) принадлежат координатным площадям. Точка A принадлежит первой координатной площади, так как все ее координаты положительны. Точка B принадлежит четвертой координатной площади, так как ее x-координата отрицательна, а y-координата и z-координата положительны.

Координаты середины отрезка CD можно найти как среднее арифметическое координат точек C и D:

Середина отрезка CD имеет координаты ((0+6)/2; (2-4)/2; (-7-9)/2) = (3; -1; -8).
Середина отрезка CD имеет координаты ((2+7)/2; (-4+4)/2; (9+0)/2) = (4.5; 0; 4.5).
Найдем точку на оси x, равноудаленную от точек A(1; 3; 3) и B(2; 1; 4). Пусть искомая точка имеет координаты (x; 0; 0). Тогда расстояние от этой точки до точки A равно sqrt((x-1)^2 + 3^2 + 3^2), а расстояние до точки B равно sqrt((x-2)^2 + 1^2 + 4^2). Приравняем эти расстояния и решим уравнение относительно x: sqrt((x-1)^2 + 18) = sqrt((x-2)^2 + 17) (x-1)^2 + 18 = (x-2)^2 + 17 x^2 - 2x + 1 + 18 = x^2 - 4x + 4 + 17 x = -4
Таким образом, искомая точка имеет координаты (-4; 0; 0).

Чтобы доказать, что точки M(6; 3; -5), N(4; -3; 2) и K(10; 15; -19) лежат на одной прямой, можно проверить, что векторы MN и MK коллинеарны. Вектор MN имеет координаты (4-6; -3-3; 2+5) = (-2; -6; 7), а вектор MK имеет координаты (10-6; 15-3; -19+5) = (4; 12; -14). Эти векторы коллинеарны, так как все их координаты пропорциональны с коэффициентом пропорциональности -2. Следовательно, точки M, N и K лежат на одной прямой.
Точка N лежит между точками M и K, так как ее x-координата лежит между x-координатами точек M и K.