Как оформить подвал?

Если все делать по закону, то:
для начала надо обратиться за бесплатной консультацией в жил. инспекцию. Сделать это можно как в том округе, (если живете в большом городе) в котором находится намеченная для переделки квартира, так и по месту своего жительства. То есть там, где вам удобнее.
В каждой из этих жилищных инспекций по надзору за переустройством помещений консультанты ответят на любые вопросы по оформлению перепланировки. С собой захватите копию экспликации квартиры, то есть ее план. Эту бумажку выдают в БТИ в среднем в течение двух недель, и обойдется она приблизительно 90 рублей за лист. Срок ее действия - один год со дня выдачи. В крайнем случае можно нарисовать от руки схему своей квартиры. На плане покажите специалисту инспекции, что именно вы собираетесь сносить, переносить или пристраивать. В свою очередь, он объяснит, какие документы необходимы для получения разрешения на перепланировку конкретно в вашем случае, понадобится ли вам проект или эскиз, какие потребуются согласования.

"Оформить подвал" можно только одним способом - выделением доли в натуре. Либо соглашением с другими сособственниками, либо через суд.
Владеть и пользоваться - не одно и то же.

Главное, чтобы жилец с 120 м был не против. Второе, не нарушать законов о перепланировке.
Я бы сделал и не переоформлял. Бюрократы кучу денег снимут и массу времени отнимут.