Наш дом идет под снос. Нашего новорожденного ребенка прописали в квартиру, а в Договор социального найма не вносят.

Отдельного договора не надо, а то умудрятся сменит с договора социального найма на какой-либо другой (допустим просто найма или коммерческого найма) , в наших администрациях всё возможно. Пусть дадут письменный ответ на Ваш запрос по внесению ребёнка в договор социального найма. Пусть это будет отказ, пусть мотивированный, но тогда Вы сможете оспорить их действия в суде.

Малыш полностью правоспособный, вот дееспособность, действительно, ограничена.
По поводу Договора соцнайма можете не беспокоиться. Ребенок прописан, а значит вселен как член семьи нанимателя, т. е. он приобрел права по договору соцнайма. Если же сильно хочется видеть договор с изменениями, подайте в суд с требованием о внесении изменений в договор.

Ребенок вносится в лицевой счет по месту жительства и регистрации его родителей. На малыша просто еще не начисляют платежи за лифт. вывоз мусора и т. д. , он не является полностью дее- и правоспособным, поэтому с ним не может быть заключен ни договорсоциального найма, никакой иной! Поэтому договор заключается с родителями. Не переживайте. Права ребенка защищены Конституцией, ЖК РФ, ГК РФ и иными законами. На вашей стороне всегда будут Управление по вопросам семьи и детства, прокуратура и государство. Ребенок учтен, указан в выписке из лицевого счета.
Закажите выписку из лицевого счета, там должен будет указан и Ваш малыш.
А при написании заявления о выдаче Вам выписки из лицевого счета, укажите, что там долна быть указана малышка и приложите свидетельство о рождении ребенка.