Могу ли я постоянно, либо временно зарегитсрироваться на доле в квартире моего несовершеннолетнего сына?

Право ребенка жить и воспитываться в семье
1. Ребенком признается лицо, не достигшее возраста восемнадцати лет (совершеннолетия) .
2. Каждый ребенок имеет право жить и воспитываться в семье, насколько это возможно, право знать своих родителей, право на их заботу, право на совместное с ними проживание, за исключением случаев, когда это противоречит его интересам.
Ребенок имеет права на воспитание своими родителями, обеспечение его интересов, всестороннее развитие, уважение его человеческого достоинства.
При отсутствии родителей, при лишении их родительских прав и в других случаях утраты родительского попечения право ребенка на воспитание в семье обеспечивается органом опеки и попечительства в порядке, установленном главой 18 настоящего Кодекса. Берите правоустанавливающие документы на квартиру и вставайте на регистрационный учет.

50/50. Суд может как отказать, так и разрешить проживание отца, как законного представителя ребенка до исполнения им 18 лет. Может разрешить и временную регистрацию.

Нет, не можешь. Ни на какие не надо ссылаться.
Мало того, для регистрации нужно согласие всех собственников, в т. ч. тёщи.
Как законный представитель (отец) можешь перепрописать его в своё мильё, не ухудшая условия проживания ребёнка.

Нет, не можете. Более того, ваша теща может инициировать в суде снятие с регистрационного учета вашего ребенка - несовершеннолетние должны быть зарегистрированы с одним из родителей. Ребенок не перестанет быть собственником доли после этого.
Для продажи доли ребенка согласие органов опеки необходимо. А они крайне неохотно идут на это-только если вы предоставите доказательства покупки лучшего жилья для ребенка и желательно одновременно с продажей. Так что ваш блеф раскроется сразу после похода тещи в отдел опеки и не прибавит вашим отношениям доброжелательности.
Непонятно почему взрослый мужчина желает жить с тещей...

Нет вы не можете, ничего, и ваш ребенок не проживает один... он с бабушкой... И не будите лихо - пока оно тихо... Это теща может потребовать, чтобы ребенок был зарегистрирован по месту регистрации одного из родителей. то есть вас....

Зато строптивой теще вежливо намекнуть (и даже разыграть спектакль) , что продаете долю и у нее теперь по всей квартире будет дружная дагестанская семья из семи человек -
Конечно, вы первой предложите долю ей по закону - можно направить ей заказное письмо с уведомлением и описью вложения с указанием вашей продажной цены (получит - не получит не важно) - ненавязчиво разъяснить, что если ответа не поступит от нее Купить - вы через месяц продаете - так по закону.

Не призываю ссориться - разумный компромисс!