После того, как оформлена дарственная на квартиру, одаряемый может прописаться в квартире? +

не бывает "дарственной".
Бывает договор дарения. Если имеется зключенный договор дарения. и переход права собственности на одаряемого зареген на основании этого договора, и одаряемый получил право собственности на жилое помещение. то этот одаряемый- новый собственник- может вселиться в жилое помещение и зарегиться в нем по месту жительств на основании свидет. о праве сообственности.
А даритель- уже не собственник, он утратил право проживания и пользования. что должен был понимать, отчуждая безвозмездно по дог. дарения жилое помещение.
Поэтому он фактически освобождает и снимется сам с учета по месту жительства, обратившись в УФМС, ну и вселяется в иное жилое помещение, в кот. у него есть права собственности/самост пользования, и регится там.
Если бывший собственник квартиру фактич. не освобождает, и не сним. с регучета по месту жительства, то признавать в суде его утратившим право пользования и выселять со снятием с регучета.
Если факт. квартиру освободил и не проживает. просто зареген, то реш. суда снимать с регистр. учета.

на оба вопроса ответ один - ДА!

После дарения Даритель может спокойно проживать в квартире и дальше. Выписка не требуется.
Также надо учитывать категории граждан, которых невозможно выписать даже по суду, даже если гражданин (Даритель) перестал быть собственником.

Прописаться без проблем--в паспортном столе с документами на квартиру, а выписать в судебном порядке, без проблем.

Да