Как оформить квартиру.

Ехать к собственнику жилого помещения и заключать с ним договор купли-продажи жилого помещения, потом подавать в Росреестр совместное заявление о регистрации переход права собственности на вас- покупателя на основании договора.
Иначе- никак.
Спрашивать Вас уже поздно и бесполезно, зачем Вы отдали деньги без договора.
Этот чел, которго Вы называете "старым хозяином", м. б. на самом деле был собственником жилого помещения, за которое Вы ему деньги отдали со всей дури без заключенного договора, а может и не был.
А может был тогда собственником, на дату передачи Вами денег, но теперь там уже др. собственник.
Вы хоть выписку из ЕГРН возьмите о правах на объект и переходе прав.
Узнаете кто собственник в н. в.
-----------------
Что вы там такое едите и из чего вы сделаны, что суете деньги невесть кому без договора, и потом, ХЗ спустя какое время, озадачиваетесь: "как оформить" (!?)

с договором купли-продажи квартиры Вам следует обратиться в Росреестр

А на основании чего вы собираетесь её оформлять?

Купить и оформить в Росреестре на себя.

поскольку у вас нет ничего кроме расписки, и если из текста расписки следует, что деньги уплачены за квартиру, то у вас есть шанс. Всякий шанс может быть признан в судебном порядке, что у вас был устный договор купли продажи. Нанимайте адвоката и вперед.