Имеют ли право при трудоустройстве требовать в обязательном порядке информацию о других членах семьи?

Трудоустройство и собеседование - разные вещи.
На собеседовании - нет.
При трудоустройстве (заключении трудового договора) на каждого работника оформляется личная карточка, с которой указываются члены семьи: ФИО, год рождения. Информация - конфиденциальная. На этом этапе никаких нарушений нет.

Права не имеют, но требуют иногда

Требовать при трудоустройстве ничего не могут, кроме документов, необходимых при приеме на работу.
Могут предлагать заполнять всякие анкеты и т. п. , но ты можете отказаться от их заполнения, т. к. они еще не сделали Вам предложение. В любой подобной анкете внизу есть место, где вы ставите подпись с Вашим согласием на использование данных. Есть ФЗ 152 - о защите персональных данных.
А требовать работодатель вообще ничего не имеет права, т. к. на данном этапе вас пока не связывают трудовые отношения.

Требовать от Вас потенциальный работодатель имеет право что угодно. Другое дело, что у Вас как гражданина есть тоже права. И если Вам откажут в приеме на работу на основании того, что Вы отказались дать информацию о родственниках, то Вы вправе стребовать с низ по суду моральную компенсацию. Только надо иметь в виду, что доказать мотив отказа на таком основании вряд ли возможно. Вот если представители работодателя трижды не явятся в суд, тогда суд примет решение в Вашу пользу. Но.. . тут надо четко понимать, что принимать на работу Вас никто по ТК не обязан. И если Вы начнете на собеседовании качать права, то Вам, скорее всего откажут, а на суде заявят, что отказали по другим причинам, например, Вы просто для них не подходите. Все - вопрос будет исчерпан. Так что если Вам не нравится такая постановка вопроса, Вы же вольны просто уйти и продолжить поиск нормального с Вашей точки зрения клиента, то есть работодателя. Полезно всегда помнить, что работодатель - тот же клиент для соискателя, только он может быть так сказать эксклюзивный.