Могу ли я, имея ребенка 2 лет выйти на работу (на 1 месяц подзаработать) и снова уйти в отпуск по уходу.

Да, можете в любой момент выйти из отпуска по уходу и затем в любое время снова в него уйти (конечно до тех пор, пока ребёнку не исполнится 3 года) .
Закон не регулирует, за какое кол-во времени должнен быть уведомлен работодатель в вашей ситуации, но лучше это сделать заранее (чисто по-человеечески и если вы планируете и дальше работать в этой организации).

можете хоть завтра, за сколько дней ограничений нет, только договоренность, если не хотите проблем потом, потому что на ваше место временно мог быть принят другой человек.

Согласно ст. 256 ТК РФ по заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста 1.5 и 3-х лет. Однако это деление имеет значение только для целей выплаты пособий по государственному социальному страхованию. С точки зрения трудовых отношений – это один отпуск, и правовой статус женщины и в том и в другом случае одинаков. Отпуск по уходу за ребенком может быть использован женщиной полностью или по частям. Женщина может работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию. Причем делать это она имеет право по своему усмотрению, работодатель не имеет права отказать женщине в установлении неполного рабочего времени. Это следует из текста закона – «по заявлению женщины» . Женщина имеет право использовать отпуск по уходу за ребенком как полностью, так и по частям. ТК РФ не устанавливает порядок прерывания отпуска по уходу за ребенком или досрочного выхода из него.

Предприятие, организация в Вас нуждается? Если да, то по договоренности с руководителем все легко решить. Если нет, то зачем Вы нужны на месяц....