Кадровики! В какой срок после того как сотрудник принес заявление о приёме на работу издаётся приказ о приёме?

Не позднее чем 3 дня с начала работы (ст. 68 ТК РФ) .
Приказ издается на основании заключенного трудового договора. Заявление тут не играет роли.
И Трудовой договор заключается не позднее 3 дней со дня фактического начала работы (ст. 67 ТК РФ)

Заявление о приеме на работу может отсутствовать, так как основанием к возникновению трудовых отношений является заключенный трудовой договор (ст. 16 ТК РФ)

Ст. 68 Тк РФ Приказ (распоряжение) работодателя о приеме на работу объявляется работнику под роспись в трехдневный срок со дня фактического начала работы. По требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежаще заверенную копию указанного приказа (распоряжения) .

до того как он преступает к выполнению свих обязанностей

Согласна только с Алексеем. Заявление даже нельзя требовать. И в солидных организациях их даже никто не берет, хотя принести сотрудник может все, что угодно. В статье 65 ТК России четко перечислены документы, предъявляемые при заключении трудового договора. В части третьей этой статьи говорится о том, что ЗАПРЕЩАЕТСЯ требовать от лица, поступающего на работу, документы помимо предусмотренных настоящим Кодексом... .
В идеале - перед подписанием трудового договора надо ознакомить будущего сотрудника со всеми локально-нормативными актами организации (он даже должен расписаться, что ознакомлен - статья 68 ТК России) , потом заключить трудовой договор письменно (на экземпляре работодателя работник ставит подпись, что свой экземпляр он тоже получил) , а потом он приступает к работе (с приказом ознакомить под роспись в трехдневный срок - лучше в первый день) . Но бывает, что работник сначала приступает к работе - с ведома или по поручению работодателя. А потом в течение трех дней составляется и подписывается трудовой договор и приказ. Так тоже можно - статья 67 ТК России.

1,2 недели

Директор пишет резолюцию с какого числа принять работника, тем числом и издается приказ