Если сотрудник написал заявление об увольнении, а сам заболел ДО наступления срока, то какой датой уволить его?

В данном случае можете руководствоваться разъяснениями Федеральной службы по труду и занятости от 5 сентября 2006 г. N 1551-6 о том, что дата предполагаемого увольнения может приходиться также на период временной нетрудоспособности и увольнение может быть произведено в срок, указанный в заявлении работника (только при увольнении по собственному желанию)
Оплату же периода временной нетрудоспособности необходимо произвести в соответствии с положениями вступившего в силу с 1 января 2007 г. Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ "Об обеспечении пособиями по временной нетрудоспособности, по беременности и родам граждан, подлежащих обязательному социальному страхованию"

Т. е. увольняете датой, указанной в заявлении, а больничный потом оплачиваете на общих основаниях.

Если в день предполагаемого увольнения работник был на больничном, скорей всего от него нужно новое заявление. Поскольку в момент написания заявления работник не предполагал, что заболеет, увольнять его, пока он на больничном, нельзя. В статье 80 ТК сказано:
"Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается". Как можно выяснить, настаивает работник на увольнении, или не настаивает? Только в письменном виде.

Если сотрудник написал собственоручно заявление об увольнении по с/ж, заболел и не осуществил отзыв заявления, то работодатель может это сделать, т. к. ст. 81 запрещает увольнять работника в период нетрудоспособности только по инициативе работодателя.
Запрет увольнять сотрудника, находящегося на б/л по собственному желанию был снят в связи с принятием ТК РФ. . Эта норма ранее существовала в КЗоТе.
Прекращение трудового договора по инициативе работника производится в срок, определенный работником, в том числе и в период временной нетрудоспособности. Другими словами, в рассматриваемом случае работник должен быть уволен по собственному желанию именно в тот день, который он указал в заявлении. Но при этом право на получение пособия по временной нетрудоспособности сохраняется им вплоть до выздоровления (т. е. пособие выплачивается уже уволенному сотруднику, заболевшему в период работы в организации).

Работодатель ОБЯЗАН уволить той датой, которая указана в больничном (с учётом 2-недельного срока предупреждения, конечно) если работник не отозвал ранее своё заявление. Больничный при этом оплачивается полностью.

Нельзя увольнять во время больничного только в том случае, если увольняют по инициативе работодателя, а это не ваш случай.

По закону уволить можно только с первого дня ПОСЛЕ больничного.

Нужно уволить датой, указанной в заявлении.
Увольнять на больничном нельзя только по инициативе работодателя.
Об этом говорится в ст. 81 ТК РФ: "Не допускается увольнение работника по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем) в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске. "

В данном случае сотрудник сам написал заявление и инициатива от него, так что нужно уволить датой, указанной в заявлении.
Но больничный лист все равно придется оплатить.

Днем выхода с больничного или же датой, указанной в заявлении, если она наступит после выздоровления.

Alexey прав. В случае нахождения работника на больничном, работодатель может уволить работника по собственному желанию датой, указанной в заявлении, которое должно быть написано за 2 недели. в за однако должен оплатить все время нахождения на больничном.

Человека, который находится на больничном увольнять не имеют права

Если работник, подавший заявление на увольнение по собственному желанию и заболевший в течение срока предупреждения об увольнении, не воспользовался своим правом, не отозвал свое заявление и не изменил дату увольнения, работодатель должен расторгнуть трудовой договор. Одним словом, заболевание работника в течение срока предупреждения работодателя об увольнении по собственному желанию не приостанавливает этого срока, и по его окончанию работодатель не будет и не вправе задерживать сотрудника. В данном случае днем увольнения будет день окончания срока предупреждения, но пособие по больничному листу будет выдано с первого дня утраты трудоспособности и до ее восстановления, не смотря на то, что в это время работник был уже уволен.

Последний день больничного