Нужно ли отрабатывать две недели (если нет, то на каком основании: ст. ТК РФ и т.д.)

ТРУДОВОЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Двухнедельный срок необходим работодателю для подбора замены увольняемому работнику. В течении данного срока, работник имеет право отозвать свое заявление - в этом случае он не будет уволен (кроме случая. если на его место уже приглашен, в письменной форме, другой работник) . Течение 2-х недельного срока начинается со следующего дня, после получения работодателем письменного заявления работника. При этом, закон не содержит обязательного условия именно работы (с обязательным присутствием на рабочем месте) работника. Поэтому, работник, до момента своего увольнения может находиться на больничном, в учебном отпуске, очередном отпуске и пр. , при условии что в его заявлении указана дата увольнения. Проще говоря, работник может направить работодателю заявление об увольнении по собственному желанию, напр. - "Прошу уволить меня по ...с "..."... года. ", после чего, спокойно отправиться на "больничный", подтвердив его официальным документом (чтоб не было впоследствии неприятностей, связанных с заявлениями работодателя о прогулах и пр.) . По наступлении даты указанной в заявлении работник является к работодателю и получает полный расчет, трудовую книжку и все что необходимо. Работодатель не вправе задерживать работнику выплату денежных средств, либо выдачу трудовой книжки.

Нужно, но не обязаельно! Уволится можно по обоюдному согласию, дочтигните его обьяснив внятно что работать больше не хотите, и все дела! Обычнео при серой зряплате или еще каких либо касяках это элементарно обьяснить, и никто против не будет.
2 недели чаще предлагают типа чтоб отомстить или обламать, а не по причине поиска замены.

Можно и не отрабатывать две недели если администрация отпустит вас без отработки, то есть начальник цеха (отдела) подпишет ваше заявление например уволить с 5 августа у табельщика зарегистрируете заявление, она отметку себе сделает что подсчитать что вам предприятие должно до 5 августа, значит 5 августа идете и получаете в отделе кадров трудовую книжку, подпишут что уволить через 14 дней значит будете отрабатывать.

у вас есть исптыт. срок? Если нет- то увольнение по общим правилам- с отработкой 2 недели

можно предупредить об уходе, и свалить на больничный

На усмотрение руководителя

По ТК РФ увольняющийся обязан поставить в известность работодателя о своем увольнении за 2 недели. А он на свое усмотрение может вас уволить сразу или через две недели, чтобы за это время найти нового работника.