могут ли не сделать запись с трудовой?

ПРАВИЛА ВЕДЕНИЯ И ХРАНЕНИЯ ТРУДОВЫХ КНИЖЕК, ИЗГОТОВЛЕНИЯ БЛАНКОВ ТРУДОВОЙ КНИЖКИ И ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИМИ РАБОТОДАТЕЛЕЙ
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 06.02.2004 N 51, от 01.03.2008 N 132)

3. Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше ПЯТИ дней, если работа у данного работодателя является для работника основной.

Так что не должны еще запись сделать, да и не понятно, собирались ли Вас вообще оформлять официально.

Ваша ситуация знакома. Был случай, когда грамотный интеллигентный и эрудированный инженер-механик, ранее работавший в одном из министерств, волей обстоятельств решил устроится на работу в строительную автодормехбазу (ну сами представляете, какая там публика) . Уже на следующий день он понял, что эта контора не для него. И к счастью это понял и отдел кадров. В приказе было отражено: "уволить, как не приступившего к работе", а трудовая книжка осталась чистой.

Если приказа о приеме на работу не было, то и записи соответственно тоже. И даже если был, подойдите в отдел кадров, если еще запись не делали, то могут и не писать.

Запись в трудовой делается на основании приказа. А если его небыло, то ничего и не записано.

конечно, с какого это они вам что-то там напишут, если вы официально не работали

трудового договора нет, заявления нет, в налоговой о вас никакой информации.... с чего тогда они что то напишут...? даже не переживайте по этому поводу!