нужно ли писать заявление на ежегодный отпуск если есть утвержденный график

Конечно. График может ведь и не совпасть с реалиями (может вы хотите его перенести, может во время утвержденной даты Вы на больничном находиться будете) . Может Вы изъявите желание его разбить на несколько периодов.
А в заявлении Вы укажете даты своего отпуска, и на основании этого заявления будет издан приказ, который поступит в бухгалтерию для расчета отпускных.

Если отпуск по графику, то заявление присать не надо.

Согласна, что если идет по графику, то писать не надо.

Писать ничего не надо, обязанность извещать о начале отпуска за 2 недели до него, возлагается на отдел кадров. Ст. 123 ТК РФ часть 2.

если Работник идет в отпуск согласно графику отпусков, то не надо. Необходимо проверить подпись работника с ознакомлением графиков отпусков, важно, дата ощнакомления должна быть не менее чем за 3 дня. Я например, ознакамываю сграфиком отпусков начале года.

Писать заявление всеравно надо.

все зависит от того порядка, который заведен в вашей организации, если там написано, что направление в отпуска - только в соответствии с графиком, то заявление не обязательно, если вас каким то др. способом уведомляют о начале отпуска за две недели

конечно. этим вы выражаете свое письменное требование на получение отпуска

Отдел кадров вас должен уведомить за 2 недели до начала отпуска о том, что в сооветсвии с графиком отпусков вам предоставляется отпуск с ...по ...за период работы ...
Заявление вы пишете в случае переноса отпуска на другое время