Подскажите :можно ли продлить отпуск по уходу за ребёнком? Ребёнку 3 годика.

Отпусков по уходу за ребёнком по уходу за ребёнком до четырнадцати лет не существует. Законом гарантирован, только отпуск по уходу за ребенком до 3 лет.
Есть формулировка при увольнении: "в связи с необходимостью осуществления ухода за ребенком в возрасте до 14 лет" (ст. 80), которая до отмены непрерывного стажа в 2007 году, сохраняла непрерывный трудовой стаж для назначения различных пособий (Правила исчисления непрерывного трудового стажа... от 13.04.1973 № 252).
Сейчас данная запись не дает никаких льгот ( не считая того, что не нужно при увольнение предупреждать работодателя за 2 недели, уволят в день указанный в заявление) .
Лицам, осуществляющим уход за ребенком - инвалидом предоставляются 4 дополнительных выходных дня в месяц по его письменному заявлению (статья 262 ТК РФ) , имеющим ребенка -инвалида до 18 лет, одинокой матери, воспитывающей ребенка до 14 лет могут быть предоставлены дни без сохранения заработной платы (до 14 к. д. )

В России отпуск по уходу за ребёнком только до достижения им возраста 3 лет, только до этого времени за женщиной сохраняется место рабочее.
После исполнения ребёнку 3 лет гарантий уже нет.

Можно, но это уже будет не отпуск, а увольнение. При такой причине есть какие то льготы, но я точно не знаю какие.

можн - ,родить второго

Нельзя! Отпуск по уходу за ребенком предоставляется до достижения 3х лет. Дальше по согласованию с работодателем можно оформить отпуск без сохранения заработной платы.

можно до 14 лет