Может ли человек, уйдя в официальный отпуск...

вы уходите в отпуск и получаете отпускные за тот период что длиться отпуск (это ваша как бы зарплата)
если вы хотите поработать, то можете поработать только бесплатно (вторую зарплату официально вам не дадут)
Договориться всегда можно, если с директором есть договоренность, то причем тут тогда отдел кадров?? ?

если проверка - сказать пришел чай попить или еще что-нибу.
произв. травма, безусловно не будет такой. Если сам работник не станет скандалить, можно и замять. Сам же напросился в отпуске поработать
А вообще не положено, отпуск на то и отпуск, чтобы отдыхать и набираться сил.

Вы можете уйти в официальный отпуск и вам его оплатят положенным образом. А про всё остальное договаривайтесь с вашим начальством; если в организации есть левые деньги и начальство это поощряет, то почему бы и нет? Но официальной документацией это подтверждено не будет.

Это уже допускает не кадровик, а работодатель. По закону не положено.

По документам у Вас все хорошо? Ну и не волнуйтесь! Вы же не служба безопасности - пускать или не пускать. Может, человек скучает по работе, приходит чайку попить?

Есть масса вариантов: устроится на свою же работу по совместительству на время отсутствия основного работника, заключить гражданско-правовой договор... .
Мы на время отпуска по табелю ставим нерабочие дни, а выплачиваем просто разовую премию. Если это предусмотрено положением об оплате труда, то почему бы работодателю мне за время отпуска премию не выплатить в размере месячной зарплаты? Все законно.

На время отпуска можно оформить договор ГПХ.

у нас в стране все можно :)

Можно получать зар. плату и не в конверте, а официально, для этого нужно отзыв с отпуска от руководителя в связи с производственной необходимостью, ну и твое согласие соответственно на работу во время отпуска.