Больничный открыт в день увольнения, как правильно оформить?

Вы всё правильно сделали. Нельзя увольнять работника в период временной нетрудоспособности по инициативе работодателя, а если он сам изъявил желание уволится, то это его право и увольнять его надо не смотря ни на что, согласно даты, указанной в заявлении. отозвать заявление работник имеет право в течение 2х недель со дня его подачи. после того, как его уволили, вы ему уже ни чего не должны, ни восстанавливать, ни доплачивать. Тем более, на такие звонки можете вообще не отвечать. Где апрель, а где июнь? Выспался что ли?
Пусть предъявит свои требования письменно, приложите к ним копию заявления на увольнение, копию приказа, копию больничного и сделайте запрос в государственную трудовую инспекцию о правомерности требований работника. Получите адекватный письменный ответ и вручите его (копию, естественно) бывшему работнику. Лично я в подобных ситуациях всегда так делаю, дабы не тратить свои нервы на объяснения со слишком "умными" работниками.

Т. к. увольнение произошло по инициативе работника, то дату увольнения переносить не нужно.

По увольнению все правильно сделано, ведь заявление об увольнении работник не отзывал, Вы не могли его не уволить. Задним числом переделывать - это подделка документов.

По расчету пособия вопрос: у него страховой стаж меньше 5 лет? Если больше, то не 60% платить надо, а 80 или 100 в зависимости от стажа. Больничный-то открыт в последний день работы, а не после увольнения.
Так что пособие по нетрудоспособности пересчитайте и доплатите.

Все правильно, уволили, больничный оплатили. Единственный нюанс: 6 апреля - день увольнения - за этот день больничный рассчитывается по стажу (т. к. в этот день еще сохраняются отношения с работодателем) , а последующие дни - 60%

Посоветуйтесь с руководителем. Разрешит ли переписать ему заявление об увольнении. Если да, то пересчитайте больничный.