сможет ли человек забрать заявление об уходе по собственному (не подписанное) находясь на испытательном?

Испытательный срок это лишь одно из условий принятия на работу и на испытуемого распространяются все правила ТК РФ. Если Вы сомневаетесь, что Вам заявление не отдадут, просто пишите второе заявление, которым отзываете заявление об увольнении (в двух экземплярах) , регистрируете у секретаря, ставите подпись секретаря на втором заявлении о принятии и храните его у себя.

В соответствии со ст. 70 ТК РФ на период испытательного срока на работника распространяются все положения и нормы Трудового кодекса РФ.
В соответствии с частью 4 ст. 80 ТК РФ работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме за две недели. До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление . Увольнение в этом случае не производится.
Для этого пишется заявление следующего содержания:
Прошу мое заявление от 00.00.2011 об увольнении по собственному желанию 00.00.2011 считать недействительным. Дата подпись.
Если на ваше место не приглашен другой работник переводом, то работодатель не вправе вам отказать.

заявление вам отдадут и вы проработаете весь испытательный срок, но вопрос в другом, захочет работодатель продлевать с вами дальше контракт или трудовой договор. вот что вас должно волновать. вам надо переговорить с вашим работодателем о возможных или нет дальнейших рабочих отношений.

идите к руководству на беседу. привидите ВЕСОМЫЙ аргумент. почему вы хотите остаться

Если отдадут, то можно.