Положена ли компенсация за проезд секретарю в школе.

Если вы приезжаете сначала на работу, а затем выезжаете по делам предприятия (школы) , то компенсация положена. Если происходт поездка без заезда на работу (например, с утра) , то нет.
Попробуйте сходить в отдел кадров и путь допишут в Ваши должностные обязанности поездки по делам школы. в этом случае можно добиться полной компенсации за проезд.

должен, если разъезды прописаны в должностных обязанностях

если это прописано в трудовом договоре либо в коллективном договоре, если предусмотрено, тогда да, но ЭТО всего лишь ПРАВО, а не обязанность вашего директора компенсировать вам проезд!! !
Но судя потому как директор упирается, то можно сказать что возмещение расходов на проезд в локальных актах вашей школы нигде не закреплено!!! !
В трудовом кодексе сказано, что все это компенсируется по договоренности с работодателем!!!

Если проезд вызван разъездным характером работы, то да. Если проезд от/до работы до/от дома, то нет (за исключением случаев, когда оплата установлена локальными документами, например, Положением о льготах и компенсациях или о материальной помощи и директор лично Вам отказывает в оплате проезда, в то время, как другие сотрудники школы такую компенсацию получают)

Насколько я понимаю, вы претендуете на оплату проезда на работу . То вам такая компенсация не положена. Но если вы претендуете на оплату проезда по служебным делам учреждения, то эта выплата компенсации должна быть прописана в коллективном договоре или в правилах внутреннего распорядка учреждения или в трудовом договоре или в других локальных нормативных актах содержащих нормы трудового права.
Если ни в одном документе эта компенсация не прописана, то она вам не положена. Если же прописана, то на основании вашего личного заявления с приложением подтверждающих документов, а именно маршрутного листа и оплаченных билетов, вам должны выплатить эту компенсацию.