Имеет ли юридическую силу документ присланный факсом, в данном случае заявление на увольнение

Трудовой кодекс не устанавливает ограничений по форме заявления от работника и его передаче работодателю. Заявление на увольнение работник может передать не только лично, но и по почте, факсу, электронной почте и т. д. Главное, чтобы у работодателя не возникло сомнений в подлинности такого заявления.
Излишне выплаченные суммы можно удержать в соответствии с ч. 2 ст. 137 Трудового кодекса. Правда, если есть из чего удерживать (из заработной платы) . При этом общий размер всех удержаний при каждой выплате зарплаты ограничен. Он не может превышать 20% заработка (ч. 1 ст. 138 ТК РФ) .
Если сумма удержаний превышает более чем на 20% сумму начисленной работнику заработной платы или последней зарплаты сотрудника недостаточно, чтобы удержать переплату, работодателю необходимо заручиться согласием сотрудника на возврат излишне полученной суммы отпускных. Тот факт, что работник не оспаривает оснований и размеров удержания, он может подтвердить соответствующим заявлением. В противном случае удерживать излишне выплаченную сумму самостоятельно работодатель не вправе. Этот вопрос может быть решен в суде.

Конечно, же нельзя. В ст. 80 ТК РФ сказано, что работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме за две недели.
Заметьте, ни в какой либо другой форме - факсимильной, телеграммой или эл. почтой. Поэтому работник может направить заявление работодателю по почте, заказным письмом и с описью вложения.

нет

имеет