Чем отличается сокращение штатов от сокращения по согласованию сторон? Будет ли эта разница отражаться на бирже?

Суть ясна-разницы никакой. И в том и другом случае производится запись в трудовую книжку: "Трудовой договор расторгнут по инициативе работодателя в связи с сокращением штата сотрудников по п. 2 ч. 1 ст. 81 ТК РФ". Право уволить работника до истечения 2-х месячного срока уведомления с его согласия дано работодателю ст. 180 ТК РФ. Если вы согласны, то в день увольнения выплачивается дополнительная компенсация в размере среднего заработка за период, оставшийся до истечения 2-х недельного срока +компенсация в размере среднемесячного заработка, а также выплачивается фактически начисленная з/пл на день увольнения+ компенсация за неиспользованные дни отпуска и выдается трудовая книжка. А также за вами сохраняется средний заработок на период трудоустройства, за 4-й месяц со дня увольнения и за 5-й месяц, если встанете на учет в ЦЗ и не будете трудоустроены) , далее будете получать пособие по безработице.

нет такого увольнения как вы написали" сокращение по соглашению сторон"
Есть "увольнение в связи с сокращением численности штата", а есть просто "увольнение по соглашению сторон"
Так вот первый случай предпочтительней, поскольку много гарантий, выходное пособие и т. д.
Второй случай тоже ничего, только выходное пособие не получаете.
Для постановки на учет в службе занятости не важно какая причина увольнения!! ! А вот для получение дополнительного выходного пособия за 4, 5, 6 месяц нетрудоустройства- нужно быть уволенным по сокращению. Впрочем увольнение по сокращения я сказала что денежек больше только вот и вся разница

сокращение интереснее для тебя... .
в финансовом плане....

при сокращении штата - на бирже выплачивают ЗП в теч 3 мес и работодатель должен дать компенсацию вроде, при увольнении по соглашению - работодатель может выплатить (а может и нет- как договоритесь) выходное пособие