у жены в тк написано уволена по собственном желанию

вам уже ответили - нет действительно такой формулировки в тк

В соответствии с п. 5.6 Инструкции по заполнению трудовых книжек, утвержденной Постановлением Минтруда России от 10.10.2003 N 69, при расторжении трудового договора по инициативе работника по причинам, с которыми законодательство связывает предоставление определенных льгот и преимуществ, запись об увольнении вносится в трудовую книжку с указанием этих причин. Например: "Трудовой договор расторгнут по инициативе работника в связи с переводом мужа на работу в другую местность, пункт 3 части 1 статьи 77 Трудового кодекса Российской Федерации".
Согласно п. 5.1 Инструкции при внесении записи об увольнении в трудовой книжке работника в графе 4 указываются наименование документа, на основании которого внесена запись, - приказ (распоряжение) или иное решение работодателя, его дата и номер. Делать ссылки в данной графе на документы, подтверждающие направление мужа на работу в другую местность, не нужно.

Во-первых такой статьи в ТК нет. . Там только увольнение по инициативе работника.. Поэтому совершенно правы, что отказываются. .
А во-вторых, какая вам принципиальная разница в этом?

И правильно отказывается. Такой формулировки нет в трудовом кодексе

Это бы сыграло роль, если у жены не было бы возможности отрабатывать 2 недели после предупреждения об уходе. Данная причина увольнения больше не на что не влияет. Запись в трудовой книжке сделана правильно.

Запись сделана неправильно. Правильно: "Трудовой договор расторгнут по инициативе работника, пункт 3 части первой статьи 77 Трудового кодекса Российской Федерации". Если Вы переживаете о том, что жену будут допытывать на новом месте работы о причинах увольнения по собственному желанию, то жена имеет право запросить в ОК рекомендательное письмо или характеристику, в которой отрязят причину увольнения.