Какую причину лучше указать при увольнении? Переезд в другой город или увольнение в связи уходом за ребенком-инвалидом?

Это все равно будет увольнением по собственному желанию, и указывать причину для увольнения сотрудник не должен, но может (если имеет такое желание) . Написать, например: "Прошу уволить меня по собственному желанию такого-то числа в связи с необходимостью осуществлять уход за ребенком-инвалидом до достижения им 18 лет".
Единственное отличие в случае указания причины -- это возможность не отрабатывать 2 недели, а уволиться в день, указанный вами в заявлении. Если вы хотите указать причину увольнения и уволиться без отработки, приложите к заявлению об увольнении копию свидетельства о рождении ребенка и справку от врача о том, что он нуждается в уходе.

Практически любую. Все равно будет увольнение по собственному желанию. Непрерывного стажа сейчас нет. А на новой работе все равно почему вы уволились. Может зарплата маленькая была или ездить далеко.

Причину можно не указывать, просто пишите по собственному желанию

просто подать заявление об увольнении по собственному желанию. Если новому работодателю будет интересно, почему Вы уволились, он об этом спросит на собеседовании

Не имеет значения. Если вы имеете в виду какие-то льготы, то их надо будет все равно подтверждать...

Ненужно посвящать посторонних в свои проблемы...

Ну вообще-то, если причиной увольнения является необходимость ухода за ребенком-инвалидом, то это указывается в трудовой книжке "Уволена по собственному желания, пункт... статьи.. . Трудового кодекса Российской Федерации, в связи с необходимостью ухода за ребнком-инвалидом и т. д. " Вам крайне трудно потом будет с такой записью в ТК найти работу, т. к. для работодателя потенциально Вы будете работником, который в любой момент может неожиданно уволиться.

ПЕРЕЕЗД на новое