оплата больничного листа по уходу за ребенком-инвалидом во время очередного отпуска

Про ребёнка инвалида точно не знаю, но если просто на больничный с ребёнком уйти - отпуск не продлевается, да и сам больничный не берётся.
Вы там сами уточните на работе - с ребёнком инвалидом положен 1 дополнительный выходной в неделю. (4 за месяц. ) Они как бы не переносятся на другое время, но по согласованию сторон, Вы могли бы это время как бы совместить и взять как бы дополнительный "отпуск"
В своё время, директор школы, где я работала на такое не пошла и "украла" у меня 40 дней таких выходных. Детей же не оставишь учиться 4 дня в неделю, а отпуск не стала давать. Была молодая, спорить не стала, а надо было бы...

Правильно отказали. В ст. 124 ТК РФ четко сказано, что отпуск продлевается в случае временной нетрудоспосбности самого работника, но ни как не членов его семьи.
А в ст. 9 фед. закона №255-фз сказано, что пособие по временной нетрудоспособности не назначается застрахованному лицу за период освобождения от работы с полным или частичным сохранением заработной платы или без оплаты в соответствии с законодательством Российской Федерации, за исключением случаев утраты трудоспособности работником вследствие заболевания или травмы в период ежегодного оплачиваемого отпуска;

Продлевать ничего не обязаны, продление отпуска предусмотрено на случай болезни самого работника в отпуске.
Вы могли бы получить оплату больничного, если бы в первый же день, как пошёл больничный лист, договорились отменить отпуск и оформить эти дни как дни на больничном, и, соответственно, вернули бы полученные отпускные деньги.
Получить за одни и те же дни и оплату больничного, и отпускные нельзя.

Нет, не должны.
Вот если бы больничный был по вашей болезни, тогда другое дело.

Должны выплатить больничный и продлить отпуск.