Должен ли по закону зачисляться испытательный срок в трудовую книжку ?

Да, все дни работы засчитываются в трудовой стаж, если в трудовой книжке сделана запись о приёме на работу (что иногда забывают делать рабоодатели маленьких предприятий, особенно во время испытательного срока)

Согласно ст. 66 Трудового кодекса РФ работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него СВЫШЕ ПЯТИ ДНЕЙ, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.
Так что запись об испытательном сроке, если он продлился более 5 дней, должна быть.

При заключении трудового договора делается запись в трудовую книжку. Если в трудовом договоре есть запись о испытательном сроке, то по его результатам человека можно уволить (ст. 77 ТК РФ) , но запись в трудовой книжке всё равно остаёться.
Если же Вы работали без заключения трудового договора, то всё сложнее.

конечно и обязательно, если нет, то прямая дорога в инспекцию по труду

нет

конечно

Да с первого дня работы запись в трудовой о компании и должности

Нет.

Да, должен. Запись в трудовую делается в течении 5 дней, просто пишут, что вы приняты на такую то должность, но не пишут, что с испытательным сроком.

нет

что значит зачисляться?
если вы имеете ввиду запись в трудовой книжке, то нет испытательный срок не влияет ни на зарплату и никакие записи не делаются, просто с иппытательным сроком с человеком легко расстаться за его проф непригодность.