Можно ли подать заявление об увольнении находясь на больничном?

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. (ст. 80 ТК РФ)

Нет в ТК РФ такого понятия "отработка", а предупредить можно и во время больничного, и находясь в отпуске. Это уж личное дело работника, когда он заявление решит подать.
Уволить во время нахождения на больничном невозможно только в случае, если инициатива увольнения исходит от работодателя, т. к. ст. 81 ТК РФ содержит запрет на увольнение в период временной нетрудоспособности.
А если работник увольняется по собственному желанию, то больничный не является поводом задерживать его на работе после истечения срока предупреждения. Нет в ст. 80 ТК РФ запрета на увольнение во время больничного.

Работник может подать заявление и на больничном и в отпуске. Требуется отработка 2 недели. Но по договоренности погут уволить без отработки. Увольнение при нахождении на больничном листе не допускается законом.

Да, отправьте письмо с уведомлением, чтобы не заставили отрабатывать больше 2-х недель.

Как правило, заявление об увольнении пишется с точной датой, т. е. ставите число, с которого просите вас уволить. Даже находясь на больничном. Но в некоторых учреждениях требуют, чтобы их осведомляли за 2 недели. И больничный как раз входит в этот интервал. Можете даже после оплаченного больничного уже не работать (если больничный длится 2 недели и более).